TEORY HIMPUNAN

Sejarah Ringkas Teori Himpunan

George Cantor (1845-1918) dianggap sebagai Bapak teori himpunan, karena beliaulah yang pertama kali mengembangkan cabang matematika ini. Ide-idenya tentang teori himpunan dapat memuaskan keinginan publik terutama idenya tentang himpunan tak berhingga (infinit) (himpunan yang banyak anggotanya tak berhingga).

Beliau mengembangkan hirarki himpunan infinit ini yang ternyata dapat digunakan di berbagai himpunan infinit yang berbeda. Penemuan ini di anggap penemuan yang revolusioner oleh para matematikawan pada jaman itu. Cantor meninggal di suatu institusi mental di jerman pada usia 73 tahun. Banyak yang mengganggap bahwa mentalnya jatuh karena serangan-serangan terhadap ide-ide dan hasil karyanya yang dilakukan oleh para matematikawan lain.

Pada tahun-tahun terakhir ini, teori himpunan mendapatkan perhatian khusus dalam mengajarkan matematika, karena setiap cabang matematika berkaitan erat dan termasuk  di dalam (menjadi bagian) teori himpunan. Cabang matematika yang berbeda-beda berkembang menjadi satu kesatuan dalam teori himpunan.

Himpunan

Dalam upaya untuk melakukan pengamatan, pengumpulan, penghimpunan, atau pemisahan (mengklasifikasikan) dari suatu obyek-obyek menurut sifatnya. Perlu adanya pengertian tentang himpunan. Menghimpun adalah suatu kegiatan yang berhubungan dengan berbagai obyek dan mempunyai suatu sifat yang dimiliki bersama. Jadi himpunan adalah kumpulan dari obyek-obyek yang mempunyai sifat tertentu dan didefinisikan secara jelas. Kumpulan itu dapat berupa daftar, koleksi atau kelas. Sedangkan obyek-obyek dalam kumpulan itu dapat berupa benda konkrit atau benda abstrak, seperti: bilangan, abjad, orang, sungai, negara. Obyek-obyek ini di sebut anggota, unsur atau elemen dari himpunan tersebut.

Karena obyek-obyek dalam himpunan telah didefinisikan dengan jelas , sehingga kita dapat membedakan obyek yang menjadi anggota himpunan dan yang bukan menjadi anggota himpunan.

Contoh :

1.     Himpunan bilangan 1, 2, dan 3.

2.     Himpunan vokal a, i, e, o, u.

3.     Himpunan semua huruf dari abjad, yaitu a, i, u, e, o

4.     Himpunan negara-negara asia tenggara.

5.     Himpunan penyelesaian persamaan x²  –  2 x – 3 =0

6.     Himpunan manusia yang hidup di bumi.

Notasi Himpunan

Himpunan biasanya dinyatakan dengan huruf besar A, B, C, ….., K, L, M, ......., X, Y, Z. dan sebagainya. Sedangkan anggota-anggota dari suatu himpunan dinyatakan dengan huruf kecil a, b, c, x, y, ... dan sebagainya.

Jika x anggota dari himpunan A, maka dinyatakan x Î A. dan

Jika x bukan anggota dari himpunan A, maka ditulis x Ï A.

Jika x adalah anggota himpunan A, berarti A mempunyai x sebagai salah satu anggotanya maka dapat di tulis x Î A (di baca x anggota A atau x elemen A). Sebaliknya jika x bukan anggota himpunan A, berarti A tidak mempunyai x sebagai (salah satu) anggotanya maka ditulis : x Ï  A (di baca bukan anggota A, atau bukan elemen A).

Contoh:  1. P  ={a, i, e, o, u}.  Maka;  a Î P,  b Ï  P,  e Î  P.

   2. Q ={1, 3, 5, 7, 9}. Maka; 3 Î Q,  6 Ï Q, 8 Ï  Q.

Cara Penulisan Himpunan

Untuk menuliskan atau menyatakan himpunan seperti pada contoh-contoh di atas dirasakan sangat bertele-tele, tidak singkat. Oleh karena itu diperlukan cara menuliskan secara matematis, singkat dan jelas. Di dalam konsep teori himpunan, Ada tiga cara dalam mendefinisikan suatu himpunan antara lain:

1.     Dengan cara mendaftar setiap anggota-anggotanya, diantara dua tanda kurung kurawal.

Contoh:

a.        P = {1, 2, 4, 6, 8} artinya;

P  merupakan suatu himpunan dengan anggota-anggotanya adalah 1, 2, 4, 6, dan 8. 

b.       Q = {1, 3, 5, 7, 9} artinya;

Q merupakan suatu himpunan dengan anggota-anggotanya adalah 1, 3, 5, 7, dan 9.

2.     Dengan cara menyebutkan sifat-sifat yang dimiliki setiap anggota-anggotanya.

Contoh:

a.  P = himpunan vokal dalam abjad latin.

b. Q = himpunan bilangan cacah ganjil yang kurang dari 10.

3.     Dengan menggunakan notasi pembentuk himpunan.

Contoh:

1.       P  ={x / x adalah vokal dalam abjad latin}.

2.       Q ={x / x adalah bilangan cacah ganjil}.

3.       R ={x / x adalah bilangan riil}

Macam-macam Himpunan

Berdasarkan pengamatan dengan memperhatikan jumlah anggotanya, himpunan terbagi menjadi beberapa macam :

1.     Himpunan Kosong (himpunan hampa)

Himpunan kosong adalah suatu himpunan yang tidak mempunyai anggota. Himpunan kosong biasanya dinyatakan dengan notasi Æ atau  {}.

Contoh:

1.       A adalah himpunan manusia di bumi yang berumur lebih dari lima abad.

sepanjang pengetahuan kita,tidak ada manusia di bumi yang berumur lebih dari lima abad. oleh karena itu, A = Æ.

2.       B ={x / x = bilangan riil, x² + 3 = 0} maka ditulis B = Æ

2.    Himpunan Semesta

Himpunan semesta adalah himpunan yang mempunyai anggota semua obyek yang sedang dibicarakan. Himpunan semesta biasanya dinyatakan dengan notasi S atau U  (S singkatan dari semesta dan U singkatan dari universal).

Contoh.

1.    S = {5, 7, -4, 9}, A = {7, 9} maka dikatakan,

S merupakan semesta dari himpunan A

2.    Semesta pembicaraan dari K={a, i, o} adalah S = {a, i, e, o, u} = himpunan huruf hidup dalam abjad latin, atau S = {abjad latin}.

3.    Himpunan Berhingga (Finit) dan Himpunan Tak Berhingga (Infinit)

Suatu himpunan dapat merupakan himpunan yang berhingga atau himpunan yang tak berhingga. Secara intuitif, himpunan dikatakan berhingga jika himpunan itu beranggotakan elemen-elemen yang berbeda dan banyaknya tertentu/berhingga (jika kita membilang banyak anggota yang berbeda dalam himpunan itu, proses membilang yang kita lakukan akan berakhir) Sedangkan himpunan dikatakan tak berhingga jika himpunan tersebut mempunyai anggota-anggota yang banyaknya tak berhingga. (proses membilang yang kita lakukan untuk menghitung banyak anggota himpunan tersebut tidak akan berakhir).

Contoh:

1.    Ditentukan himpunan H = himpunan bilangan pada permukaan jam duabelas. Maka    H ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} adalah himpunan finit, karena proses membilang kita akan berhenti.

2.    Himpunan I = himpunan bilangan asli genap merupakan himpunan infinit, karena jika kita membilang banyak anggota himpunan I = {2, 4, 6, …,} proses membilang kita tidak akan pernah berhenti.

3.    J = {x / x = himpunan bilangan-bilangan bulat positif} = {1, 2, 3, ….}

J disebut himpunan tak berhingga.

4.    K = {Ali, Budi, Joko}

K disebut himpunan berhingga.